Supporto laterale degli specchi (parte 1, by Mauro Da Lio)

Io comincio...

Questo è la prima di una serie di analisi fatte ormai quasi un anno fa e relative al supporto laterale degli specchi. Si tratta di un aspetto per il quale si trova ancora poco di "ingegneristico" in giro, e quindi le "opinioni" e le "scuole di pensiero" abbondano... o meglio -dal mio punto di vista- sarebbe meglio dire abbondavano, poichè le conclusioni che si possono ottenere con una analisi rigorosa lasciano poco spazio alle opinioni e sono, per certi versi sorprendenti.

Per quanto riguarda il disegno della cella e la definizione dei punti di supporto posteriore sono ormai a disposizione degli autocostruttoiri diversi strumenti di calcolo, fra cul l'ottimo PLOP) che fornisce pure la posizione ottimizzata dei punti. Diversa è la situazione per il disegno del supporto laterale, poiché non esistono strumenti altrettanto avanzati a disposizione pubblica.
I calcoli che presento hanno quindi anche lo scopo di aiutare almeno a capire meglio la meccanica del supporto laterale.

Prima di presentare i risultati, una parola sugli strumenti usati. Le analisi sono fatte con il software di simulazione multiphysics COMSOL che può essere considerato lo stato dell'arte (almeno per lo scopo di determinare le deformazioni dello specchio di un telescopio amatoriale; per altri aspetti, quando sarà il caso, ne discuterò). Chi volesse approfondimenti in merito alla accuratezza dei risultati numerici può cominciare dalle sezioni di validazione del software nel sito COMSOL (personalmente sconsiglierei a chi non ha conoscenze approfondite -un titolo di laurea o dottorato in tema- di sollevare questioni in merito all'accuratezza ;-).

Ma vediamo la prima parte. Cioè, come si deforma uno specchio supportato lateralmente? (Condizione che mano a mano viene raggiunta passando dallo zenith all'orizzonte).

Il primo caso da considerare è quello di uno specchio appoggiato su una generatrice della superficie laterale cilindrica. In sostanza un solo punto (o linea) di appoggio. Il caso è importante perchè tutti gli altri possono essere consideratri come sovrapposizioni di questo caso base, nel quale il punto di contatto è al più ruotato (compreso il caso della cinghia che è riconducibile a una distribuzione continua di punti di appoggio).

La figura mostra il risultato. Si tratta di uno specchio di 400 mm di diametro, 50 mm di spessore, F 4,5 in vetro di silice (in questa sede il materiale conta per quanto riguarda le caratteristiche meccaniche; risultati un po' diversi sarebbero ottenuti con moduli di elasticità e poisson diversi, come con Astrositall e Pyrex).
Lo specchio è mostrato dalla parte frontale. Il cerchio nero rappresenta la froma iniziale indeformata e i due diametri principali. La sagoma in colore rappresenta lo specchio nella configurazione deformata sotto il peso proprio mentre appoggia sul solo bordo inferiore. Per rendere visibili le deformazioni, queste sono state amplificate di 200.000 volte. Nella realtà la cuspide in basso non esiste: in scala reale è solo un leggero appiattimento del bordo di appoggio. Si può anche stimare l'entità dello schiacciamento: circa 2 cm della scala amplificata, che corrispondono a 0.0001 mm reali.


I codici di colore rappresentrano lo spostamento z (cioè nella direzione dell'asse ottico) della superficie, secondo la scala indicata a fianco (il ritardo del fronte d'onda è doppio). Così il rosso vicino al punto di appoggio indica un innalzamento della superficie pari a 15 nm; il blu in corrispondenza alle parti estreme del diametro orizzontale un abassamento di 5 nm; il verde in corrispondenza al punto superiore del diametro verticale un innalzamento di circa 6 nm.

La seconda figura mostra una vista assonometrica, nella quale gli spostamenti z sono amplificati di un ulteriore fattore 100 (complessivamente 2 milioni di volte).


L'interpretazione è semplice. Lo stato di deformazione dello specchio è dato dalla sovrapposizione di due parti:

a) Una deformazione localizzata in corrispondenza alla concentrazione di sollecitazioni nel punto di appoggio. Infatti la compressione radiale del vetro comporta una dilatazione nella direzione ortogonale dello spessore (che dipende dal modulo di poisson). Succede così che il vetro si "inspessisce" (un po' come se fosse di gomma), la faccia anteriore si innalza e quella posteriore si abbassa. Come ben noto anche dalla teoria, questo tipo di effetto localizzato sparisce rapidamente (e potrebbe facilmente essere mascherato dai dispositivi di ritenuta frontale dello specchio), e in ogni caso nella realtà sarà minore poiché l'appoggio non sarà mai così concentrato come nel calcolo.

b) Una deformazione a "patatina fritta", con il diametro verticale che si incurva verso il fuoco e quello orizzontale che si appiattisce. Per comprendere questa seconda deformazione è sufficiente pensare che, a causa dello scavo, lo specchio può essere visto come dotato di una superficie media (a metà fra la superficie ottica anteriore e la superficie piana posteriore) con raggio di curvatura doppio rispetto all superficie ottica e di spessore variabile. La sollecitazione di compressione nel diametro verticale causa un aumento di curvatura, mentre il diametro orizzontale si apre. Nel complesso la deformazione è contenuta in 10 nm PV (tra i due diametri), vale a dire 1/55 lambda sulla superficie oppure 1/27.5 sul fronte d'onda. La deformata, quindi, corrisponde a una aberrazione di astigmatismo secondo i diametri verticale-orizzontale di entità pari a 1/27.5 lambda (nel caso peggiore di telescopio puntato all'orizzonte).

Ovviamente specchi di dimensioni, materiale e rapporto focale differente avranno "numeri" diversi (per ora mi fermo qua).